Razón Áurea

La armonía del rectángulo áureo.

Temas

-Introducción

-Razón áurea

-Aplicaciones de la razón áurea.

La geometría es una de las áreas matemáticas más empleadas en la actualidad.

Existen tres números de gran importancia en las matemáticas y que  nombramos con una letra. Estos números son:

·          El número designado con la letra griega  = 3,14159....(Pi) que relaciona la longitud de la circunferencia con su diámetro ( Longitud = 2..radio= .diámetro).

·          El número e = 2´71828......, inicial del apellido de su descubridor Leonhard Euler (matemático suizo del siglo XVIII) que aparece como límite de la sucesión de término general .

·          El número designado con letra griega = 1,61803... (Fi), llamado número de oro y que es la inicial del nombre del escultor griego Fidias que lo tuvo presente en sus obras.

Los tres números tienen infinitas cifras decimales y no son periódicos (sus cifras decimales no se repiten periódicamente). A estos números se les llama irracionales

Desde el tiempo de los egipcios, muchas veces las construcciones fueron creadas con base en relaciones geométricas que los científicos de aquella época fueron capaces de idear y desarrollar.

Uno de los grandes hallazgos de esa época es el denominado número de oro o número áureo (golden number en inglés). Desde su determinación, han aparecido de este número muchas demostraciones

A continuación abordaremos la concepción natural de perfección en la belleza de la naturaleza y su relación con el número áureo. También veremos las realizaciones de esta proporción que pueden observarse en diversos campos de la ciencia.

Razón Áurea

La razón áurea, también llamada razón dorada, número de oro, o divina proporción, es un concepto matemático que ha interesado y entusiasmado a personas de áreas tan diversas como la biología, por un lado, y la arquitectura y la pintura, por otro.

Pitágoras en el siglo VI a. C. observó que toda armonía dependía de una proporción, de una relación numérica: “Todo está ordenado de acuerdo a números” La palabra cosmos, a él atribuida, significa “orden”. El concepto de proporción, es en lógica como en estética, uno de los más importantes y más difíciles de definir con precisión.

Llamamos proporción a la igualdad de dos razones, definiendo la razón como el cociente entre dos números enteros.

Llamamos rectángulo al cuadrilátero que tiene sus lados opuestos congruentes, y sus ángulos interiores rectos. Si nos encontramos frente a dos rectángulos de tamaño diferente, la manera de distinguir uno de otro es por la razón entre el lado mayor y el lado menor.

Según Euclides  en su Libro VI de los Elementos de Geometría, escrito hace aproximadamente 2300 años:

“Decimos que una línea recta está dividida en razón media y extrema cuando toda la línea es al segmento más grande lo que el segmento más grande es al más pequeño”.

Dicho de otra manera, la recta de longitud a + b está dividida en razón media y extrema en dos segmentos de longitudes a y b si a + b / a = a / b. Se puede demuestra que en este caso a b = φ y que φ = ( 1 + √ 5 ) / 2 = 1.61803398 . . .

La razón aurea es un número muy atractivo que está relacionado con varios objetos matemáticos, como los números de Fibonacci y algunas construcciones geométricas. Una de ellas es el rectángulo dorado: aquél cuyos lados están en razón φ a 1, es decir, si a y b son las longitudes de los lados del rectángulo y a es mayor que b, entonces a/b = φ.

La sorprendente belleza de un número irracional.

El número áureo pertenece al conjunto del número irracional, esto es, aquellos que no pueden expresarse como cociente de dos número enteros. Por ejemplo, la raíz cuadrada de dos es irracional -un descubrimiento que incomodó de tal modo a los pitagóricos que lo ocultaron al mundo-. En nuestro caso, el número áureo lo podemos computar con una calculadora si seguimos estas sencillas instrucciones: primero, calculamos la raíz cuadrada de 5; luego sumamos 1 al resultado y el total lo dividimos por 2. Si sabemos programar un ordenador, podemos intentar batir el récord del mayor número de decimales calculados: en el año 2000 y con menos de 3 horas de computación, se encontraron los primeros 1.500 millones de cifras decimales.

De Φ derivan otros patrones de la naturaleza como el ángulo áureo que resulta de representar la proporción aurea en un círculo de este modo Φ describe el orden de las hojas de una palmera, de las escamas de una piña de las semillas en un girasol, la distribución de las hojas alrededor del tallo, entre otros fenómenos. Por otra parte el matemático Leonardo de Pisa conocido como Fibonacci estableció la siguiente sucesión de números: 1, 1, 2, 3, 8, 13, 21, 34, 55, 89,… La sucesión de Fibonacci es muy simple, en ella cada término es la suma de los dos anteriores. Si en esta sucesión dividimos el segundo término por su antecesor y el tercer termino por su antecesor y así sucesivamente, observaremos que el resultado de estas divisiones se acerca cada vez más al número de oro 1.168…). Es así como se demuestra que el límite de estos cocientes cuando la sucesión de Fibonacci tiende a infinito es el número de oro.

1/1=1

2/1=2

3/2=1.5

5/3=1.666

8/5=1.6

13/8=1.625

21/13=1.615

34/21=1.619

55/34=1.617

89/55=1,618 …

Entre la infinidad de aproximaciones de φ, como son 1.61803 y 1.61813 o simplemente 1.618, sólo φ, con su expansión decimal infinita, se distingue por sus notables propiedades matemáticas.

Esta sucesión está presente, en la reproducción de los conejos, en la reproducción de las abejas, en los brotes de infinidad de plantas, así como en muchos fenómenos más de la naturaleza. Otra fenómeno importante donde se encuentra el número dorado es la espiral logarítmica, la cual se genera al de dividir un rectángulo áureo (rectángulo con las proporciones del número Φ) en otros rectángulos dorados de manera infinitamente, en los cuales se forma dicha espiral. Esta espiral se manifiesta en la disposición de las semillas en numerosas flores y frutos, en la orejas del ser humano, en las conchas de moluscos y caracoles, y en escala mucho mayor en los brazos en espiral de las galaxias.

Por ejemplo en los anillos de Cassini del planeta Saturno podemos encontrar la relación Phi, que se muestra a continuación.

La serie de Fibonacci es uno de los conjuntos de números que aparecen muy frecuentemente dentro de la naturaleza. Por ejemplo, el número de pétalos de muchísimas flores es un número de la serie. En crecimiento de plantas, el número de ramas que se van obteniendo a medida que el árbol crece es usualmente un número perteneciente a la serie 6. Otro ejemplo típico es el cono de pino (o piña de pino). Un cono de pino se puede pensar como un conjunto de espirales que se van retorciendo hasta llegar a unirse en un punto que es el que se une al tallo. Hay ocho espirales en la dirección de las manecillas del reloj, mientras que hay 13 que se acercan más rápidamente a la punta en contra de las manecillas del reloj (situación muy similar se puede observar en una piña o en el girasol o en la coliflor). La frecuencia con la que números pertenecientes a la serie de Fibonacci se manifiestan dentro de muchos objetos o situaciones en la naturaleza parecen indicar que hay algo intrínseco y óptimo que la naturaleza ha desarrollado

En las hojas de ciertas plantas, apreciamos también esto, en una hoja de la planta, el número de hojas que hay entre una hoja y otra que este justo perpendicularmente encima de la misma, este número de hojas como el número de vueltas que da al tallo, está en la sucesión de Fibonacci.

En las semillas de las plantas, la semilla es circular, si dividimos sus grados ( 360º)entre Phi, aproximadamente da 222,5º, si ahora restamos 222,5º a los 360º de un círculo completo obtenemos 137,5º, que es el ángulo de separación entre las raíces que nacen consecutivamente. Es gracias a esto, de una manera natural, que no se amontonan unas sobre otras y aprovechan mejor el terreno.

La concha del nautilius: la concha de este caracol tiene una espiral, pero esa espiral es una espiral áurea, que se obtiene de la siguiente forma: a través de un rectángulo áureo (el lado mayor entre el menor es Phi) o un triángulo áureo (triángulo isósceles cuya proporción entre un lado mayor y el menor, o el mayor entre uno menor es Phi) que se explica con un rectángulo áureo.

De alguna forma el número Phi está en la naturaleza porque la naturaleza asi lo pide, porque es la forma más elemental de organizarse y crecer a partir de dos elementos.

En el vuelo de un halcón, supongamos que se encuentra o está  justo encima de su presa.  Si efectivamente esta perpendicularmente encima, el halcón bajará haciendo una espiral áurea, y de ese modo, baja lo más rápido posible manteniendo su vista siempre sobre la presa.

Leonardo da Vinci

Hijo del notario italiano Piero da Vinci, fue educado en la casa de su abuelo paterno hasta 1469, fecha en que viajó a Florencia junto con su padre y comenzó a frecuentar el taller de Andrea del Verrocchio. En 1472 aparece inscrito en la Compagnia di San Luca, de pintores florentinos. Con su maestro, Verrocchio, adquiere el conocimiento de las diferentes técnicas artísticas; junto a él se sabe que trabajó en la ejecución del Bautismo de Cristo, actualmente conservado en la Galería de los Uffizi de Florencia. A este primer decenio corresponden obras que se enmarcan dentro del ámbito figurativo en el que se mueve Leonardo, con influencias de Verrocchio, Lorenzo di Credi, Pollaiolo, o el joven Botticelli. De este momento, además de numerosos dibujos, se conserva La Anunciación, en la Galería de los Uffizi; el Retrato de Ginebra Benci, en la National Gallery de Washington; la Virgen de Benois, en el Ermitage de Leningrado; La Virgen del clavel, de Munich; el San Jerónimo, en la Pinacoteca Vaticana de Roma; y la Adoración de los Magos, en la Galería de los Uffizi de Florencia, encargada en 1481 por los monjes de San Donato en Scopeto y que quedó sin terminar debido a su viaje a Milán.

Leonardo da Vinci, en su cuadro de la Gioconda utilizó rectángulos áureos para plasmar el rostro de Mona Lisa. Se pueden localizar muchos detalles de su cara, observando por empezar, que la misma se encuadra en un rectángulo áureo.

 La construcción del rostro de la Gioconda pintada por Leonardo de Vinci es similar a la construcción de la espiral áurea del nautilo.

Pero Leonardo no solo las utilizó en la cara de la Mona Lisa, también la utilizó en muchas otras obras reprentando la belleza de la proporción áurea sobre el cuerpo humano. Unas proporciones armoniosas para el cuerpo, que estudiaron antes los griegos y romanos, las plasmó en este dibujo Leonardo da Vinci. Sirvió para ilustrar el libro La Divina Proporción de Luca Pacioli.

En el siglo XV el monje Luca Pacioli, llamó “la divina proporción” dando un porqué. De acuerdo a él, phi “tiene una correspondencia con la santísima trinidad; es decir, así como hay una misma sustancia entre tres personas, de igual modo una misma proporción se encontrará siempre entre tres términos, y nunca de más o menos”.

Resulta que el cociente entre la altura del hombre (lado del cuadrado) y la distancia del ombligo a la punta de la mano (radio de la circunferencia) es el número áureo.

Muchos artistas de la actualidad aún siguen escondiendo la curiosa proporción divina en muchos de sus cuadros, fotografía, aunque no lo podamos ver a simple vista. Tal como es en el caso de Cartier-Bresson en la que como vemos en la imagen, utiliza la espiral para dar un efecto armonioso y enrevesado a su fotografía titulada "Blanco y Negro".

También el pintor holandés Piet Mondrian, fundador del neoplasticismo, (corriente artística que proponía despojar al arte de todo elemento accesorio) utilizó la proporción áurea en la geometría de sus obras.

Joaquín Torres García (pintor contemporáneo) también utiliza la simetría del número áureo para representar muchas de sus pinturas como la de "Construcción" y "Guavich":

Johannes Kepler (1571-1630), descubrió la naturaleza elíptica de las órbitas de los planetas alrededor del sol, mencionó también la “Divina Proporción", diciendo esto acerca de ella: "La geometría tiene dos grandes tesoros: uno es el teorema de Pitágoras; el otro, la división de una línea entre el extremo y su proporcional. El primero lo podemos comparar a una medida de oro; el segundo lo debemos denominar una joya preciosa."

En la música

El compositor húngaro Bela Bartok y el francés Olivier Messiaen utilizaron esta serie para determinar la duración de las notas de algunas de sus obras.

El compositor mexicano Silvestre Revueltas (1899-1945) utilizó también el número áureo en su obra Alcancías, para organizar las partes (unidades formales).

También encontramos las proporciones del rectángulo áureo y sus secciones en Nueva York, en el Edificio de la O.N.U.

En la actualidad, la divina proporción se puede ver en multitud de diseños. El más conocido y difundido es en el formato de la mayoría de las tarjetas de crédito, asi como en los estadios de fútbol, tenis, e inclusive si abres tu cartera, un billete tiene esta proporción.

A lo largo de este tema hemos visto que artistas, ingenieros, fotógrafos, arquitectos y diseñadores hacen uso de la razón áurea ya que se ha creído que se puede para impartir armonía y estética a sus creaciones. Se piensa que los productos que son diseñados con la Razón Áurea son más atractivos a la vista del usuario, es por ello que los profesionales de estas áreas hagan uso de los fundamentos y aplicaciones de este número. Sin embargo esto no aplica en todo lo que nos rodea, no se sabe si solo es un mito, pero no cabe duda que sería difícil quitar o desmentir una creencia de muchos años de antigüedad.

Encontrar orden matemático en un universo de aparente belleza divina es realmente sorprendente, pero no es una prueba de algún diseñador inteligente, pero comúnmente al ver estos diseños en la naturaleza creemos en la existencia de alguien superior. Los apologistas y teólogos modernos afirman la existencia de un Dios.

¿Y tú crees que sea cierto que la razón áurea da armonía?